Büyük begon zijn carrière bij het lokale Artvin Hopaspor. Via een seizoen bij Arhavispor kwam hij in 2003 terecht bij Beşiktaş. Bij die club kwam hij in 2005 kort in het eerste elftal terecht, maar hij zou er nooit zijn debuut maken. De drie jaren die volgden bracht hij door bij achtereenvolgens Zeytinburnuspor, Akçaabat Sebatspor en Altay; deze drie clubs namen de aanvaller op huurbasis over. In 2008 werd Büyük overgenomen door Manisaspor, dat hem weer tweemaal verhuurde, namelijk aan Boluspor en Mersin İdman Yurdu. In 2012 werd Kasımpaşa zijn nieuwe werkgever.
In juli 2014 zou Galatasaray geïnteresseerd zijn in de diensten van Büyük, maar een bod van de topclub werd door Kasımpaşa van tafel geveegd.[1] Later werd hij benoemd tot aanvoerder van de club. Medio 2017 vertrok de aanvaller naar Yeni Malatyaspor.[2] Twee jaar later kwam het alsnog van een transfer naar Galatasaray.[3] Na een seizoen bij die club keerde hij terug bij Yeni Malatyaspor.[4] Medio 2022 verkaste Büyük naar Manisa.[5] Hier vertrok hij in mei van het jaar erop weer, om voor Karşıyaka te tekenen.[6] Bij deze club vertrok hij in maart 2024, om in oktober op zevenendertigjarige leeftijd een punt achter zijn actieve loopbaan te zetten.[7]
Büyük debuteerde in het Turks voetbalelftal op 15 november 2013. Op die dag won Turkije met 1–0 van Noord-Ierland door een treffer van Mevlüt Erdinç. Büyük mocht van bondscoach Fatih Terim in de basis beginnen en hij werd in de zevenenzestigste minuut gewisseld voor mededebutant Salih Uçan (Fenerbahçe). De andere twee debutanten dit duel waren Tarık Çamdal (Eskişehirspor) en İshak Doğan (Karabükspor).[9] Vier dagen later speelde de aanvaller opnieuw mee; nu wonnen de Turken met 2–1 van Wit-Rusland door doelpunten van Umut Bulut en Burak Yılmaz en Büyük werd in de rust gewisseld voor Olcay Şahan.[10]
Turkije
.svg){kind=small}
Kosovo – Turkije .svg){kind=small}
Honduras – Turkije